Instrukcije, poduke, repeticije, pripreme učenicima i studentima za sve škole i fakultete

BJELOVAR, ČAZMA, DARUVAR, GAREŠNICA, GRUBIŠNO POLJE, IVANSKA, VELIKO TROJSTVO, NOVA GRADIŠKA, OKUČANI, SLAVONSKI BROD, SLAVONSKI ŠAMAC, VELIKA KOPANICA, VRPOLJE, CAVTAT, DUBROVNIK, KORČULA, LASTOVO, METKOVIĆ, OPUZEN, OREBIĆ, PLOČE, VELA LUKA, ZAGREB, CENTAR, ČRNOMEREC, DUBRAVA, LUČKO, MAKSIMIR, MEDVEŠČAK, NOVI ZAGREB, ODRA, PEŠĆENICA, SESVETE, SUSEDGRAD, TREŠNJEVKA, TRNJE, BUJE, BUZET, LABIN, NOVIGRAD, PAZIN, POREČ, PULA, ROVINJ, UMAG, VODNJAN, DUGA RESA, KARLOVAC, OGULIN, OZALJ, SLUNJ, VOJNIĆ, ĐURĐEVAC, KOPRIVNICA, KRIŽEVCI, BEDEKOVČINA, DONJA STUBICA, ĐURMANEC, KLANJEC, KRAPINA, KRAPINSKE TOPLICE, MARIJA BISTRICA, OROSLAVJE, ZABOK, ZLATAR, DONJI LAPAC, GOSPIĆ, NOVALJA, OTOČAC, PERUŠIĆ, PLITVIČKA JEZERA, SENJ, UDBINA, ČAKOVEC, KOTORIBA, MURSKO, NEDELIŠĆE, PRELOG, BELI MANASTIR, BELIŠĆE, ĐAKOVO, DONJI MIHOLJAC, NAŠICE, OSIJEK, VALPOVO, KUTJEVO, LIPIK, PAKRAC, PLETERNICA, POŽEGA, VELIKA, BAKAR, ČABAR, CRES, CRIKVENICA, DELNICE, KASTAV, KRALJEVICA, KRK, LOVRAN, MALI LOŠINJ, MALINSKA, MATULJI, NOVI VINODOLSKI, OPATIJA, RAB, RIJEKA, VRBOVSKO, DRNIŠ, KNIN, ŠIBENIK, SKRADIN, TISNO, UNEŠIĆ, VODICE, DVOR, GLINA, GVOZD, HRVATSKA KOSTAJNICA, KUTINA, NOVSKA, PETRINJA, POPOVAČA, SISAK, SUNJA, TOPUSKO, HVAR, IMOTSKI, KAŠTELA, MAKARSKA, OMIŠ, SINJ, SOLIN, SPLIT, SUPETAR, TROGIR, VRGORAC, BEDNJA, IVANEC, LEPOGLAVA, LUDBREG, NOVI MAROF, VARAŽDIN, VARAŽDINSKE TOPLICE, ORAHOVICA, SLATINA, VIROVITICA, VOĆIN, GUNJA, ILOK, IVANKOVO, TOVARNIK, VINKOVCI, VRBANJA, VUKOVAR, ŽUPANJA, BENKOVAC, BIOGRAD NM, GRAČAC, NIN, OBROVAC, PAG, ZADAR, ZEMUNIK, BREGANA, DUGO SELO, IVANIĆ GRAD, JASTREBARSKO, KLOŠTAR IVANIĆ, SAMOBOR, SVETA NEDELJA, SVETI IVAN ZELINA, VELIKA GORICA, VRBOVEC, ZAPREŠIĆ, BJELOVARSKO-BILOGORSKA, BRODSKO-POSAVSKA, DUBROVAČKO-NERETVANSKA ŽUPANIJA, GRAD ZAGREB, ISTARSKA, KARLOVAČKA, KOPRIVNIČKO-KRIŽEVAČKA, KRAPINSKO-ZAGORSKA, LIČKO-SENJSKA, MEĐIMURSKA, OSJEČKO-BARANJSKA, POŽEŠKO-SLAVONSKA, PRIMORSKO-GORANSKA, ŠIBENSKO-KNINSKA, SISAČKO-MOSLAVAČKA, SPLITSKO-DALMATINSKA, VARAŽDINSKA, VIROVITIČKO-PODRAVSKA, VUKOVARSKO-SRIJEMSKA, ZADARSKA, ZAGREBAČKA ŽUPANIJA, cijela HRVATSKA, BiH, Srbija, Crna Gora i ostalo - Instrukcije, poduke, repeticije iz matematike, fizike, kemije, biokemije, biologije, statistike, vjerojatnosti, elektrotehnike, mehanike, mehanike fluida, hrvatskog, geografije, povijesti, državna matura, ispiti, upis na Medicinski fakultet, pomoć u učenju, klasične instrukcije ili online instrukcije putem Skypea ili Vibera.

  • Povećaj slova
  • Resetiraj
  • Smanji slova
Home Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu - viša razina II

Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu - viša razina II

E-mail Ispis PDF

Informacije i predbilježbe na telefon/viber: 095/ 812-7777, 099/ 739-9999, 01/ 2990-241, Skype: instrukcijeonline


Riješeni zadaci iz matematike za državnu maturu - viša razina II




Državna matura – kružnica


17. Kružnica u prvome kvadrantu ima polumjer 4 i dira os ordinata u točki A(0, 5).

Napišite jednadžbu te kružnice.


Pošto je kružnica u prvom kvadrantu, njeno je središte S(4, 5).

Jednadžba kružnice:


(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}

(x-4)^{2}+(y-5)^{2}=16

Državna matura – jednadžbe


18.
Riješite sljedeće zadatke s jednadžbama.


18.1. Riješite jednadžbu \frac{5}{4}=3-\frac{x-2}{x+1}

Pomnožit ćemo čitavu jednadžbu s 4(x+1) da se rješimo razlomaka:


5(x+1)=3\cdot 4(x+1)-4(x-2)

5x+5=12x+12-4x+8

x= - 5

18.2.
Odredite x\in < 0,2\pi > za koji je \cos (\frac{\pi }{3}+x)=1

Kosinus je jednak 1 u izrazima oblika 2k\pi. S obzirom na interval kojem pripada x, izraz $latex \frac{\pi }{3}+x$ bit će nam ili 0 ili 2\pi:

\frac{\pi }{3}+x=0\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3} ovo otpada

\frac{\pi }{3}+x=2\pi\Rightarrow x=\frac{5\pi }{3}




Državna matura – graf funkcije


19.
Riješite sljedeće zadatke s grafom funkcije.

19.1
Nacrtajte graf funkcije f(x)= x^{2}+2x-3

19.2.
Graf polinoma trećega stupnja prolazi točkama A(-1, 4), B(0, 9/2) , C(1, 5) i  D(3,0) , gdje je A točka lokalnoga minimuma, a C točka lokalnoga maksimuma. Iz zadanih podataka skicirajte graf toga polinoma na intervalu −2, 4.

Napomena:
Za skiciranje nije potrebno odrediti formulu zadanoga polinoma.


19. 1. Izračunamo koordinate tjemena:

x = -b/2a = -1

y= f(-1) = 1 – 2 – 3 = -4


Koeficijent ispred vodećeg člana a = 1 je pozitivan. To znači da će parabola biti otvorena prema gore. Izračunamo nultočke kvadratne jednadžbe:

x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

x_{1}=-3,x_{2}=1

Graf će izgledati otprilike
ovako

19.2.
Kako je A lokalni minimum, a B lokalni maksimum, slijedi da će funkcija padati na <-\infty ,-1>, rasti na <-1, 1> i opet padati na <1, +\infty>. Evo
grafa


Državna matura – postotni račun


20.
Kod plaćanja nekoga proizvoda na njegovu osnovnu cijenu dodaje se 23% PDV-a.

20.1.
Osnovna cijena proizvoda je 65.45 kn. Kolika mu je cijena kod plaćanja?

x=65.45+65.45\cdot 23\%=65.45+65.45\cdot 0.23=65.45\cdot 1.23=80.50

Odgovor: Cijena kod plaćanja je 80.50 kn

20.2.
Čokoladu smo platili 6.00 kn. Koliko je od toga iznos PDV-a?

x+0.23x=6\Rightarrow 1.23x=6\Rightarrow x=\frac{6}{1.23}=4.88

Odgovor: Iznos PDV-a je 6 – 4.88 = 1.12 kn



Državna matura – kvadratna jednadžba

21. Riješite sljedeće zadatke.


21.1.
Kvadratna jednadžba x^{2}+bx+c=0 ima dvostruko rješenje x_{1}=x_{2}=-5. Koliki je koeficijent b te kvadratne jednadžbe?

Kvadratna jednadžba ima oblik  a(x-x_{1})(x-x_{2})=0 U našem slučaju:

(x+5)(x+5)=0

x^{2}+10x+25=0

Odgovor: b = 10.

21.2.
Riješite nejednadžbu 2x^{2} > 7x + 4 i rješenje zapišite s pomoću intervala.

Prvo nađimo nultočke odgovarajuće kvadratne jednadžbe:

2x^{2} - 7x - 4=0

x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

x_{1}=4, x_{2}=-\frac{1}{2}

Kako je vodeći koeficijent a=2 pozitivan, rješenje nejednadžbe bit će

<-\infty ,-\frac{1}{2}>\bigcup <4,+\infty >

odnosno

\mathbb{R}\setminus \left [ -\frac{1}{2},4 \right ]






Državna matura – sustav jednadžbi



22.1.

Iz 1. jednadžbe izrazimo x preko y:

4y=5x-10\Rightarrow x=\frac{4}{5}y+2

Iz 2. jednadžbe slijedi da je z=x-8= \frac{4}{5}y-6

22.2.

Iz 1. nejednadžbe slijedi x>\frac{3}{2}

Iz 2. nejednadžbe dobivamo 2x+10\geq 6x-1

-4x\geq -11

x\leq \frac{11}{4}

Vrijedi i prva i druga nejednakost, tako da je rješenje njihov presjek:

x\in <\frac{3}{2},\frac{11}{4}]




Državna matura matematika – kubna jednadžba


23.
Riješite sljedeće zadatke.


23.1.

x^{2}(x+a) - (x+ a) = 0

(x^{2}-1)(x+a)= 0

(x-1)(x+1)(x+a) = 0

Odgovor:
x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=- a

23.2
. Riješite nejednadžbu log(x − 2) >1

10^{ \log(x - 2) }>10^1



Odredite sva tri rješenja jednadžbe x^{3} + ax^{2} - x - a = 0 .
Riješite sustav \left\{\begin{matrix}  x-\frac{1}{2}>1\\  2(x+5)\geq 6x-1  \end{matrix}\right. i rješenje zapišite s pomoću intervala.
Izrazite z s pomoću y ako je \left\{\begin{matrix}  y=\frac{5(x-2)}{4}\\  x=z+8  \end{matrix}\right.

 


24.

24.1.
Zapišite prvi član toga niza.

a_{1} = 2(1 + p) - 4=2+2p-4=2p-2

24.2.
Izračunajte vrijednost realnoga broja p ako je zbroj prvih pet članova toga niza  jednak 60


a_{1} = 2(1 + p) - 4=2+2p-4=2p-2


a_{2} = 2(2 + p) - 4=4+2p-4=2p

a_{3} = 2(3 + p) - 4=6+2p-4=2p+2

a_{4} = 2(4 + p) - 4=8+2p-4=2p+4

a_{5} = 2(5 + p) - 4=10+2p-4=2p+6

Zbrojimo prvih 5 članova niza i izjednačimo sa 60:

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} = 60

2p-2+2p+2p+2+2p+4+2p+6 = 60

10p+10=60

p=5





Državna matura matematika – koordinatni sustav

Prvo očitamo koordinate točaka: A(3, -3), B(2, 1), C(-3, 2). Za mjeru kuta pri vrhu C vrijedit će formula \tan\gamma =\left | \frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}} \right |. k_{1} je koeficijent pravca AC, a k_{2} pravca BC:

k_{1}=\frac{y_{A}-y_{C}}{x_{A}-x_{C}}=\frac{-3-2}{3+3}=\frac{-5}{6}

k_{2}=\frac{y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}=\frac{1-2}{2+3}=\frac{-1}{5}

\tan\gamma =\left | \frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}} \right |

\tan\gamma =\left | \frac{\frac{-1}{5}-\frac{-5}{6}}{1+\frac{-1}{5}\cdot\frac{-5}{6}} \right |=\frac {19}{35}

\gamma=28^{\circ}30{}'

25.2.
Izračunajte duljinu visine trokuta iz vrha B .

Visina iz vrha B jednaka je udaljenosti točke B od pravca AC. Udaljenost točke T(x_{1}, y_{1}) i pravca  p... Ax+By+C=0: d(T,p)=\frac{\left | Ax_{1}+By_{2}+C \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}. Jednadžba pravca AC:

y - y_{A}=k_1(x-x_{A})

y +3=\frac{-5}{6}(x-3)

6y+18=-5x+15\Rightarrow 5x+6y+3=0

v_{b}=\frac{\left| Ax_{1}+By_{2}+C \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}

v_{b}=\frac{5\cdot 2+6\cdot 1+3}{\sqrt{5^{2}+6^{2}}}=\frac{19}{\sqrt{61}}=\frac{19\sqrt{61}}{61}

25.3.
Vektor \overrightarrow{AB} prikažite kao linearnu kombinaciju jediničnih okomitih vektora \vec{i}\vec{j}
Jednostavno od koordinata krajnje točke B(2, 1) oduzmemo koordinate početne točke A(3, -3):

\overrightarrow{AB}= (2-3)\vec{i} +(1+3)\vec{j}=-\vec{i}+4\vec{j}


Državna matura – sinusoida – graf funkcije

Vidimo da funkcija po y osi varira između -2 i 2. Znači da joj je amplituda A = 2.

f\left ( \frac{2\pi}{3} \right )=2

2\sin\left ( \frac{2\pi}{3} +C \right )=2

\sin\left ( \frac{2\pi}{3} +C \right )=1

\frac{2\pi}{3} +C =\frac{\pi }{2}

C= \frac{\pi }{2}-\frac{2\pi}{3}= \frac{-\pi}{6}





Državna matura – sličnost


28.1.
Napišite jednadžbu pravca koja prolazi točkom T(6, 3) i sjecištem pravaca 3x + 4y - 24 = 0 i

\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1

Sredimo jednadžbu drugog pravca 3x-2y=6 i riješimo sustav – neka nam rješenje bude točka U.

Od prve jednadžbe oduzet ćemo drugu:

3x+4y-24-3x+2y=-6

y=3

x = 4

Gledamo jednadžbu pravca kroz točke T(6, 3) i U(4, 3):


y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left ( x-x_{1} \right )

y-3=\frac{3-3}{6-4}\left ( x-4 \right )

y =3

28.2.
Napišite koordinate žarišta (fokusa) hiperbole čija je jednadžba x^{2}-y^{2}=144 .

Apscisa fokusa zadovoljavat će jednadžbu e^{2}=a^{2}+b^{2}. Kako bismo dobili parametre a i b, hiperbolu svodimo na kanonski oblik \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 dijeljenjem početne jednadžbe s 144:

\frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{144}=1

Dakle:

a=b=12\Rightarrow e=\pm \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\pm \sqrt{12^{2}\cdot 2}=\pm 12\sqrt{2}

Odgovor: točke žarišta bit će F_{1}(12\sqrt{2},0) i F_{2}(-12\sqrt{2},0)

28.3.
Halleyev komet giba se oko Sunca po eliptičnoj putanji kojoj je numerički
ekscentricitet ε = 0.967 . Sunce se nalazi u žarištu (fokusu) te elipse.

Najmanja udaljenost kometa od Sunca je 8.75\cdot 10^{10} m.

Koliko iznosi najveća udaljenost Halleyeva kometa od Sunca?

Napomena: Numerički ekscentricitet ε računa se prema formuli \varepsilon =\frac{e}{a}

Komet je najmanje udaljen od Sunca (perihel) kad se nalazi “skroz istočno”, u T(a, 0) a

Sunce je u fokusu F(e, 0). Tada vrijedi d_{min}=a-e=8.75\cdot 10^{10}m

Komet je najudaljeniji od Sunca (afel) kad se nalazi “skroz zapadno”, u T(-a, 0). Tada je
njegova udaljenost d_{max}= a + e.

U formuli za najmanju udaljenost primjenimo jednakost e=\varepsilon \cdot a:

a-\varepsilon \cdot a=8.75\cdot 10^{10}m

a(1-\varepsilon) =8.75\cdot 10^{10}m

a(1-0.967) =8.75\cdot 10^{10}m

0.033a =8.75\cdot 10^{10}m

a =2.65\dot{1}\dot{5}\cdot 10^{12}m

Sad možemo izračunati i e:

e=\varepsilon \cdot a= 0.967 \cdot2.65\dot{1}\dot{5}\cdot 10^{12}m=2.5640\dot{1}\dot{5}\cdot 10^{12}m

Za kraj, maksimalnu udaljenost računamo tako da zbrojimo a i e:

d_{max}=a+e= 5.2155303\cdot 10^{12}m




Državna matura matematika – derivacija, domena, slika, ekstremi



29.1. Zadana je funkcija f(x)=2^{x}-8.

Odredite područje definicije funkcije f.

Odgovor:
Pošto možemo uvrstiti bilo koji realni broj, domena će biti <-\infty ,\infty > = \mathbb{R}

Odredite nultočku funkcije f.

2^{x}-8=0

2^{x}=8

2^{x}=2^{3}

x = 3

Izračunajte f (−5) . Rezultat zapišite u decimalnome obliku i zaokružite ga na
tri decimale.

f(-5)=2^{-5}-8=\frac{1}{32}-8\approx -7.969

29. 2. Odredite prvu derivaciju funkcije f(x)=x\cdot \sin x

f'(x)=x'\cdot \sin x +x\cdot \sin 'x=\sin x+x\cdot \cos x

29.3. Za koji realan broj x funkcija f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-6 postiže lokalni minimum?

Izračunajmo prvu i drugu derivaciju funkcije:

f'(x)=x^{2}-x

f''(x)=2x-1

Izjednačimo prvu derivaciju s nulom i nađimo stacionarne točke. One su nam kandidati za ekstreme:

x^{2}-x=0

x(x-1)=0

x_{1}=0, x_{2}=1

Nađimo predznak druge derivacije u 0 i 1. To će nam reći postižu li se u stacionarnim točkama ekstremi:

f''(0)=-1<0 \Rightarrow Max

f''(1)=1>0 \Rightarrow min

Dakle, lokalni minimum postiže se u točki x = 1 i iznosi y=f(1)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-6=-\frac{37}{6}

29.4. Odredite skup svih vrijednosti (sliku) funkcije f(x) = |x +1| - 3 .

Apsolutna vrijednost će svaki sadržaj preslikati nenegativno (u pozitivan broj ili u nulu). Zbog toga je slika od |x +1| jednaka [0,\infty >. Kako mi od toga još oduzimamo 3, slika zadane funkcije će biti [-3,\infty >

29.5. Zadane su funkcije f(x)=2x i g(x)=\log _{5}x Rješite jednadžbu (f\circ g)(x)=7

(f\circ g)(x)=7

2\log _{5}x=7

\log _{5}x^{2}=7

x^{2}=5^{7}

x=\sqrt{5^{7}}=\sqrt{5^{6}\cdot5}=125\sqrt{5}

U obzir uzimamo samo pozitivni korijen, pošto je g(x) definiran samo za pozitivne brojeve
.





30.




l_{1}=\frac{r\pi \alpha }{180^{\circ}} (1)

l_{2}=\frac{(r+d)\pi \alpha }{180^{\circ}} (2)

Podijelimo (2) s (1):

\frac{l_{2}}{l_{1}}=\frac{\frac{(r+d)\pi \alpha }{180^{\circ}}}{\frac{r \pi \alpha }{180^{\circ}}}

\frac{l_{2}}{l_{1}}=\frac{r+d}{r}

\frac{21.6}{14.6}=\frac{r+9.3}{r}

21.6\cdot r=14.6\cdot r+14.6\cdot 9.3

7\cdot r=135.78

r\approx 19.3971429 cm

Iz (1) izračunamo središnji kut:

\alpha =\frac{180l_{1}}{r\pi }

\alpha \approx 43.125855^{\circ}

Izračunamo površinu kružnog vijenca:

P_{V}=[(r+d)^{2}-r^{2}]\pi

P_{V}\approx447.276858\pi \; cm^{2}

Površina etikete bit će:

P_{E}=P_{V}\cdot \frac{\alpha }{360^{\circ}}

P_{E}\approx 53.5811\pi\; cm^{2}

Pogledamo koliko etiketa možemo izrezati iz kružnog vijenca:

360^{\circ}/\alpha \approx 8.34766049

n = 8

I za kraj, od ukupne površine oduzmemo 8 površina etiketa:

P=P_{V}-8P_{E}

P\approx 18.628058\pi \; cm^{2}\approx 58.52177\; cm^{2}

Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranoga kartona oblika kružnoga vijenca.

Dimenzije jedne etikete su l_{1} =14.6 cm,  l_{2} = 21.6 cm, d = 9.3 cm. Koliko kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnoga vijenca izrezan maksimalni broj etiketa?




29. Riješite sljedeće zadatke s funkcijama.



27. Kvadrat ABCD na skici ima stranice duljine 7 cm, a kvadrat BEFG stranice duljine 5 cm.


matura matematika slicnost
Kolika je duljina dužine \overline{DE}?

\overline{DE} je hipotenuza pravokutnog trokuta EDA. DE=\sqrt{7^{2}+12^{2}}=\sqrt{49+144}=\sqrt{193}

Odredite omjer duljina dužina \overline{BH} i \overline{HG}.

Neka je |BH| =  x. Tada je |HC| = 7 – x.  Iz sličnosti trokuta BEH i HCD slijedi:

x : (7-x) = 5:7 ==> 7x = 35 – 5x ==> x = 35/12

\overline{HG} = 5 – x = 25/12

\overline{BH} : \overline{HG} = 35 : 25 = 7 : 5


Državna matura matematika – jednadžba pravca, hiperbola, elipsa


28. Riješite sljedeće zadatke.
Državna matura iz matematike – kružni vijenac i isječak


26. Grafom je zadana funkcija f(x) = Asin(x +C) . Odredite A i C .



drzavna matura sinusoida



25. Na slici je prikazan trokut ABC.

drzavna matura matematika

25.1. Izračunajte mjeru kuta u vrhu C .
Zadan je opći član aritmetičkoga niza a_{n} = 2(n + p) - 4

 

Državna matura matematika – aritmetički niz

 

22. Riješite sljedeće zadatke sa sustavima.


Više primjera ispita s rješenjima potražite ovdje


 

KONTAKT

Telefoni:
(00385) 095 812 7777
(00385) 099 739 9999
(00385)   01 2990 241


Viber: (00385) 095 812 7777

WhatsApp: (00385) 095 812 7777

Skype nick: instrukcijeonline, 
instrukcije-online


E-mail: centarznanja@gmail.com
Direktna kontakt poruka

Glavni izbornik

Kemija - korisni sadržaji